BargteilさんらのViscoplasticモデル

BargteilさんたちのA Finite Element method for Animating Large Viscoplastic Flowの3章をさっと読んでみた．
前回読んで意味がわからず途中で断念したIrvingさんたちの論文を参考に，粘塑性の物体の変形と動きをモデル化している．今のところ，この論文に関しても，ほとんど理解できていない．
Irvingらの考えも理解できていないので，この分野の知見が足りないのだろう．

まぁ，よくわからなかったが，私の知見と照らし合わせて，何が書いてあったかまとめてみる．
3.1 Finite Element Methodでは，オブジェクトを四面体にして，四面体を変形するということが記述されていた．
四面体を行列X（ラージエックス）で表記している．この行列Xは3x3行列で，3次元上のあるノードから他の3つのノードの相対的な位置を表している．このとき，行をノードのインデックスで，列を次元としている．
シミュレーションをはじめるために，basis matrix（基底行列，と訳すのかな）を計算する．この基底行列βは初期のX0の逆行列とする．
このとき，与えられた変形状態がXのとき，Deformation gradient(変形勾配，と訳すかな)Fは，F=Xβで計算できる．これは，初期の四面体X0にDeformation gradient Fという変形行列をかけることで，変形後の座標Xが求まるという見慣れた計算．論文ではF=∂x/∂u=Xβと記述されている．uの意味が不明だが，きっと変形ベクトルを意味するんだろう．
あとの計算で使うため，FはF=UF^Vのように対角化する．
ここでは，Deformation gradient Fを計算するために，1st Piola-Kirchhoff stress(何これ?と思ってググったらwikipediaに書いてあった)を計算する．
http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(physics)
どうやら，素材と応力を関係させるとのことらしい．その応力P^は，P^ = 2μ(F^-I)+λTr(F^-I)I，で表されている．ここでは，λとμは材質のパラメーター．Trは行列のトレース．
それで力の計算は，g=UP^V^T∑ANで計算できるとのこと．ANは面法線の重み付き面積とする．
ここまでで，材質が関係する応力を計算し，座標変換の行列Fを求めたいということがわかった．たぶん1st Piola-Kirchhoff stressを知っていれば，ここまで読む必要なかったように思えた．

次に，3.2 Plasticity Modelについて読んだが，これまたよくわからない．
かかっている力eを可塑性e_pと弾性e_eに分けられると仮定する．体積の変化によるひずみによって加速が起こるとしている．（で，何よって感じがする）
可塑性のF_Pと弾性F_eの掛け算モデルは適切であり，F=F_P・F_eで表す．このとき，det(F_P)=1とすることで，体積の変化が起こらないことを保障するとのこと．
F^* =(det(F^))^-1/3 F^を計算するために対角化されたDeformation gradientのF^を使う．このとき，det(F^*)=1とする．そして，F^_P = (F^*)^γとする．γはねばりの係数．
つまり，(det(F^))^-1/3 F^に適当な数をかけた行列を座標変換の行列としてbasis matrix βにかけてやれば，よいということだろうか．

Deformation gradient Fの行列式が1になるように，かつ，弾性と可塑性に分けて計算すれば，それなりに見えるのではないかと，思ってきた．